Lo que te mata realmente es la corriente (la intensidad), la confusión que hay con que digan que la tensión mata es que, una tensión muy alta, a parte de hacerte quemaduras muy graves), hará que pase por ti una intensidad alta (ya que al fin y al cabo tu cuerpo es una resistencia).
Básicamente, por la ley de Ohm, V = I · R; I = V/R. Dependiendo de la resistencia de tu cuerpo y de la tensión que apliques, te electrocutarás antes o después (o nunca)...
Por ejemplo:
Puedes tener un circuito de 24V con 100A pasando por el, y al tocarlo no te pasará nada, porque tu cuerpo tiene una resistencia que no dejará pasar la intensidad mientras que la tensión sea inferior a la que tu cuerpo soporta, (esto se llama tensiones de seguridad, y son distintas para corriente alterna y continua, puedes echarle un vistazo aquí
http://uprl.unizar.es/seguridad/electricidad.html)
Es por ello que en piscinas, a pesar de tener unos focos bajo el agua consumiendo en conjunto muchos amperios (por ejemplo 20A), no te pasará nada por bañarte en ella dado que la tensión a la que trabajan es de 12V (rara vez a 24, los he visto alguna vez aunque no recuerdo si está permitido ese voltaje en piscinas). Estas en una piscina sumergido, rodeado de 20 amperios...
Luego, en una vivienda tienes 230V y ahí encuentras una protección (el interruptor diferencial) que saltará cuando haya una fuga de 0,03A, para protegerte de contactos indirectos...
Respecto a tu duda: "¿No es la potencia la que mata?", No, es la intensidad, simpre y cuando la tensión sea lo suficientemente elevada como para pasar por tu cuerpo. Una intensidad de 0,04A te matará en muy poco tiempo (por no decir al instante...), a partir de 0,004A ya notas un pequeño calambre, una intensidad menor a esa probablemente no la notes...
Como por ejemplo un buscapolos, una lámpara de neón que se encenderá al circular por ella una corriente, y esa corriente también pasa a través tuya, pero dado que hay una resistencia en serie con el neon + tu cuerpo, provoca que la intensidad sea muy baja, lo suficiente para iluminar el neón y no lo necesario para electrocutarte... Puedes hacer una prueba cogiendo un buscapolos, y poniéndote encima de superficies más y menos aislantes, y verás como el neón se ilumina más, menos o incluso nada.
Un saludo.
Ojo! Aunque me gusta dar información de cómo actuar ante una avería o incluso como podría ser reparada, recomiendo llamar a un electricista cuando se tengan dudas.